Meus 2 cents,
Os demais comentaristas (@pilati, @maniero, @andresousa) foram bem completos em suas respostas - entao vou pegar um caminho diferente.
Imaginando que voce apenas quer um Linux para chamar de seu, voce pode criar sua "distribuicao" (inclusive vem dai o tempo "distro", muito usado para referenciar um Linux).
Explicando um pouco: o que costumamos chamar de "Linux" eh a juncao do kernel + programas externos que compoe o ecossistema (p.ex. ambiente grafico eh um programa externo que pode ou nao estar presente em uma distribuicao Linux).
Entao, a "distribuicao" nada mais eh que um nome que damos para reconhecer uma determinada escolha de programas que vao ser "enviados" (distribuidos) juntos como o kernel do Linux (simplilficando, kernel aqui eh o nucleo principal que conversa com o hardware e com os drivers e que permite o uso de perifericos).
Qual o procedimento: voce escolhe uma versao do kernel, qual o sistema de "empacotamento" (como os programas serao instalados) e quais o programas desejados por padrao - e presto ! - nasceu sua "distribuicao".
Logico que eh um pouco mais complexo que isso - mas nao eh nada do outro mundo, ate eh razoavelmente simples de aprender.
Se voce esta interessado nisso, um site que recomendo eh o "LFS - Linux from strach" que ensina passo-a-passo como construir sua distribuicao do zero.
Nada impede que voce crie uma distribuicao derivada, p.ex. o Linux MINT eh baseado/derivado do UBUNTU que por sua vez eh baseado/derivado do DEBIAN.
Um outro site interessante para conhecer distribuicoes eh o DISTROWATCH.
E por fim, existem distribuicoes que sao bem faceis de serem customizadas (p.ex. Arch e Geento).
Agora, se o objetivo for escovar bits e criar um S.O. do zero, da uma acompanhada neste post: Estou desenvolvendo meu próprio OS e troque uma figurinhas com o autor.
Nao esqueca de continuar compartilhando sua trilha nesta jornada.
Saude e Sucesso !
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