Como computadores representam números negativos · felprangel

Tem um conceito que eu ouvi falar várias vezes antes de realmente entender — só caiu a ficha quando li o manual do Intel 8080 enquanto desenvolvia um emulador.

Se você já estudou os fundamentos da computação, provavelmente conhece números binários. E em algum momento, talvez tenha surgido a dúvida: como representar números negativos em binário? Se você pesquisou sobre isso, ou leu a documentação de inteiros em bancos de dados, provavelmente se deparou com algo como "um bit é reservado para o sinal" — o que explica os tipos SIGNED e UNSIGNED.

Mas será que é só isso? Coloca um bit pro sinal e tá resolvido?

Spoiler: não é bem assim. Vamos ver por quê — e como chegamos na solução que os computadores realmente usam.

Abordagem 1: reservar um bit para o sinal

A ideia mais intuitiva é simples: o bit mais significativo (o mais à esquerda) indica o sinal. 0 para positivo, 1 para negativo. Considerando números de 4 bits:

Binário	Decimal
1111	-7
1110	-6
...	...
1000	-0
0000	0
0001	1
...	...
0111	7

Dois problemas saltam aos olhos.

O primeiro é estético: existe um zero negativo (1000 = -0). Estranho, mas tolerável.

O segundo é fatal: a aritmética não funciona. Tente somar -2 + 3:

\begin{array}{r} 1010 \\ + 0011 \\ \hline 1101 \end{array}

O resultado 1101 representa -5, mas o correto seria +1. O hardware precisaria de lógica especial para lidar com isso — o que é caro e lento. Precisamos de algo melhor.

Abordagem 2: complemento de um (One's Complement)

E se "inverter" um número positivo para obter seu negativo? Isso é o complemento de um: flipa todos os bits.

0010 (+2) → 1101 (-2)

Binário	Decimal
1000	-7
...	...
1111	-0
0000	0
...	...
0111	7

O zero negativo ainda aparece, mas pelo menos a aritmética melhorou. Veja -2 + 4:

\begin{array}{r} 0100 \\ + 1101 \\ \hline 0001 \end{array}

O resultado bruto seria 10001, mas truncando para 4 bits fica 0001 — que é 1, não 2. Sempre 1 a menos do que deveria.

Estamos mais perto, mas ainda não chegamos lá.

Abordagem 3: complemento de dois (Two's Complement)

A solução é elegante: pega o complemento de um e soma 1. Esse é o complemento de dois — e é o que todos os processadores modernos usam.

Para obter -2: inverte 0010 → 1101, depois soma 1 → 1110.

Binário	Decimal
1001	-7
1010	-6
1011	-5
1100	-4
1101	-3
1110	-2
1111	-1
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7

Dois problemas resolvidos de uma vez: sem zero negativo, e a aritmética funciona naturalmente:

\begin{array}{r} 0100 \\ + 1110 \\ \hline 0010 \end{array}

4 + (-2) = 2. O resultado bruto seria 10010, mas truncado para 4 bits: 0010. ✓

\begin{array}{r} 1110 \\ + 0010 \\ \hline 0000 \end{array}

-2 + 2 = 0. Resultado bruto 10000, truncado: 0000. ✓

Uma forma diferente de enxergar

Há uma maneira interessante de interpretar o complemento de dois: o bit mais significativo não é um "bit de sinal" — ele vale -8 (em 4 bits).

1001 → -8 + 1 = -7
1010 → -8 + 2 = -6
1111 → -8 + 7 = -1

Essa perspectiva explica por que a soma funciona sem nenhuma lógica especial: é só aritmética binária normal, onde o bit mais à esquerda tem peso negativo.

Da próxima vez que você ver int8 indo de -128 a 127 (e não de -127 a 127), já sabe o porquê.