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rubskaiserman
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Lógica Booleana na matemática

Uma sentença matemática é uma expressão lógica que pode ser verdadeira ou falsa.

(Expressão Booleana)

S:7+7=14 trueS:9+1=5 falseS: 7 + 7 = 14 \space true \\ S: 9 + 1 = 5 \space false
∀x∈Z,x+n>x,∀n∈N−{0} truePara todo x pertencente aos Inteiros, x+n eˊ maior que x para todo n pertencente aos naturais exceto zero\forall x \in \Z, x + n > x, \forall n \in \N - \{0\} \space true \\ Para \space todo \space x \space pertencente \space aos \space Inteiros, \\ \space x + n \space é \space maior \space que \space x \space para \space todo \space n \space pertencente \space aos \space naturais \space exceto \space zero
∃x∈Z,x+n≥x,∀n∈N trueExiste x pertencente aos Inteiros t.q. x+n maior ou igual aˋ x para todo n pertencente aos naturais\exists x \in \Z, x + n \geq x, \forall n \in \N \space true \\ Existe \space x \space pertencente \space aos \space Inteiros \space t.q. \\ \space x + n \space maior \space ou \space igual \space à \space x \space para \space todo \space n \space pertencente \space aos \space naturais

Nota: Se todos seguem o mesmo padrão. Então existe algum que você escolher que segue a regra.

Exemplo:

∀x,y∈R,x2−y2=(x+y)(x−y) true\forall x,y \in \R , x² - y² = (x + y)(x - y) \space true
∀x,y∈Z,x2+y>0 false\forall x, y \in \Z, x² + y > 0 \space false
∃x,y∈Z,x2+y>0 true\exists x, y \in \Z, x ² + y > 0 \space true
∀x∈Z ∃y∈Z,x2+y>0 true\forall x \in \Z \space \exists y \in \Z, x ² + y > 0 \space true
∀x∈Z ∀y∈N,x2+y≥0 true\forall x \in \Z \space \forall y \in N, x² + y \geq 0 \space true

Conectivos Lógicos

Sendo “p” e “q” proposições (sentenças matemáticas)

p e q=p∧qp ou q=p∨qp \space e \space q = p \land q \\ p \space ou \space q = p \lor q
pqp e qp ou q
truetruetruetrue
truefalsefalsetrue
falsetruefalsetrue
falsefalsefalsefalse
p=true⇒¬p falsep=false⇒¬p truep = true \Rightarrow \neg p \space false \\ p = false \Rightarrow \neg p \space true

Acima está demonstrado o operador de negação da proposição. Ele inverte o resultado dela.

p⇒qp implica qSe p enta~o qp \Rightarrow q \\ p \space implica \space q \\ Se \space p \space então \space q
pqp ⇒ q
truetruetrue
truefalsefalse
falsetruetrue
falsefalsetrue
p  ⟺  qp⇒q∧q⇒pp \iff q \\ p \Rightarrow q \land q \Rightarrow p

Se e somente se “p” então “q”
Apenas se “p” então “q”

Se ocorrer q então ocorreu p. Se ocorrer p então ocorreu q. Se não ocorrer p então q não ocorre. Se não ocorrer q então p não ocorreu.

pqp ↔ q
truetruetrue
falsetruefalse
truefalsefalse
falsefalsetrue

Exemplos

∀x∈R,x2−x>0  ⟺  ∣x∣>1∀x∈R,x>1⇒x2>x\forall x \in \R, x ^ 2 - x > 0 \iff |x| > 1 \\ \forall x \in \R, x > 1 \Rightarrow x ^ 2 > x


NOTA: Exemplos foram principalmente inspirados em minhas aulas na faculdade. Contudo realizei alterações. Portanto estão abertas à erros e eu estou aberto à correções.

Sou aluno de Ciências Matemáticas e estou cursando Algebra I. Daí estou compartilhando algumas notas dos meus estudos que achei bacanas.

A escrita matemática é uma representação bem engraçada de sentenças + a lógica booleana acima apresentada é algo bem constante na vida de um programador.

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Tem um livro muito bom chamado "Fundamentos Matematicos para Ciencia da Computação", da Judith Gersting, que trata de todos esses assuntos de matemática computacional, e traz exemplos em codigo. Vale a pena. Da um Google ai que vcs encontram as edições mais antigas.

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