Vale lembrar que fiz isso apenas para fins de estudo, eu escrevo textos sobre determinados assuntos a fim de entendê-lo, então talvez algumas informações estejam erradas, e se sintam a vontade para corrigir :P

O que significa a expressão  A.X = B?

A equação A.X = B representa uma forma concisa e poderosa de expressar um sistema de equações lineares.

• A: É uma matriz de coeficientes. Cada elemento dessa matriz corresponde a um coeficiente de uma incógnita em uma das equações do sistema.
• X: É um vetor coluna que contém as incógnitas do sistema.
  • B: É um vetor coluna que contém os termos independentes das equações.

Por que usar a forma matricial?

1. Concisão: Permite representar sistemas de equações, por mais complexos que sejam, de forma compacta.
2. Generalização: A teoria das matrizes nos fornece ferramentas poderosas para analisar e resolver sistemas lineares de forma geral.
3. Aplicações: Essa forma é fundamental em diversas áreas, como engenharia, física, economia e ciência da computação, para modelar e resolver problemas que envolvem sistemas de equações lineares.

Quando usar sistemas de equações lineares?

Uma ótima maneira de encarar o problema é inventando um. Vamos supor uma situação hipotética:

Em um restaurante existem 3 mesas, e as 3 mesas pediram 3 itens iguals, porém em quantidades diferentes

mesa 1: 3 sushis, 7 refrigerantes e 1 torta, resultando em R$ 35,50

mesa 2: 4 sushis, 10 refrigerantes e 1 torta, resultando em R$ 49,00.

mesa 3: 1 sushi, 1 refrigerante e 2 tortas, resultando em R$ 10,50.

Mistério: Qual o valor únitário de cada item?

Como resolver?

---

Vamos utilizar a fórmula Eliminação Gaussiana $A.X=B$

Dimensão da matriz A

A dimensão da matriz A é dada é a quantidade de equações por quantidade de incógnitas, por exemplo:

$Aₑₓᵢ$
e = Número de equações da matriz A
i = Número de incógnitas da matriz A

Equações da matriz A

equação 1 = $3s + 7r + 1t = 35,50$
equação 2 = $4s + 10r + 1t = 49$
equação 3 = $1s + 1r + 2t = 10,50$

Incógnitas da matriz A

$s$ $t$ $r$
Ou seja, 3 incógnitas

---

Logo a matriz A é uma matriz de ordem 3 por 3, ou seja:

$A3x3$

---

Dimensão do vetor X

• o vetor x é um vetor coluna

O tamanho do vetor X depende do número de coisas que estamos procurando (as incógnitas). Se temos 3 incógnitas, precisamos de 3 espaços no vetor X para colocar as respostas. Por isso, se A tem 3 incógnitas, X será um vetor coluna com 3 posições.
Logo nosso x seria $X3x1$

---

Informações até agora

Com oque conseguimos, podemos definir que nosso calculo está da seguinte forma:

$A_{3x3}.X_{3x1} = B$

---

Forma de resolver quando matriz A é uma matriz QUADRADA

[!NOTE] Repare o seguinte
Quando multiplicamos a minha matriz A pela sua inversa, temos que multiplicar o vetor dos termos independentes pela matriz inversa também, para eu não perder a igualdade.

O objetivo ao multiplicar ambos os lados por A⁻¹:

• Isolar X: Nossa meta é encontrar o valor de X, ou seja, descobrir as incógnitas do sistema. Para isso, precisamos "desfazer" a multiplicação de A por X.
• A inversa é a operação inversa da multiplicação: Assim como a divisão "desfaz" a multiplicação em números, a multiplicação por A⁻¹ "desfaz" a multiplicação por A.

Por que a igualdade se mantém?

• Propriedade da igualdade: Se você realiza a mesma operação em ambos os lados de uma igualdade, a igualdade se mantém.
• Propriedade da matriz identidade: A multiplicação de uma matriz por sua inversa resulta na matriz identidade (I). A matriz identidade, quando multiplicada por qualquer matriz, resulta na própria matriz.

---

multiplicar a $A$ e o termo independente $B$ por $A^{-1}$, ficaríamos com o calculo

$A^{-1}A_{3x3}X_{3x1} = A^{-1}B$
$I_{3x3}X_{3x1} = A^{-1}B$

Um matriz indenidade $I_{3x3}$, vezes um vetor de incógnitas $X_{3x1}$, é ele próprio. Logo...
$X_{3x1} = A^{-1}B$

[!NOTE]
Essa forma só vai valer se a matriz $A$ for uma matriz quadrada. Pois a matriz inversa só existe para matrizes quadradas.

---

---

Forma de resolver com QUALQUER dimensão de matriz a partir da Eliminação Gaussiana.

	$s$	$r$	$t$	$B$
q1	3	7	1	35.5
eq2	4	10	1	49
eq3	1	1	2	10.5

---

Oque fazer com essa Matriz Ampliada?

Agora a ideia é escalonar esse sistema com operações elementares.

Oque é escalonar?

Escalonar uma matriz é como organizar um sistema de equações de forma mais simples, com o objetivo de encontrar a solução. A ideia é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde os elementos abaixo da diagonal principal são todos zero. Isso facilita muito a resolução do sistema.

Exemplo:

1	2	3	4
0	6	7	8
0	0	1	12

---

Partindo da segunda linha, vamos zerar o primeiro elemento, e na próxima, zerar os dois primeiros.

	$s$	$r$	$t$	$B$
eq1	3	7	1	35.5
eq2	4	10	1	49
eq3	1	1	2	10.5

Por que Zerar os Elementos Abaixo da Diagonal Principal?

• Simplificação: Ao zerar esses elementos, estamos eliminando uma incógnita de cada equação, tornando o sistema mais fácil de resolver.

Como Zerar um Elemento?

Para zerar um elemento, você precisa realizar operações entre as linhas da matriz. Essas operações podem ser:

• Multiplicar uma linha por um número: Isso equivale a multiplicar toda a equação correspondente por esse número.
• Somar ou subtrair uma linha de outra: Isso equivale a somar ou subtrair as equações correspondentes membro a membro.

Como podemos transformar isso com operações elementares?

Multiplicar a primeira linha por 4: Isso resultará em 12 na primeira posição da primeira linha.

Multiplicar a segunda linha por 3: Isso resultará em 12 na primeira opção da segunda linha.

Fazer a subtração dos resultados das linhas: Isso resultara em 0 na primeira opção da segunda linha.

4 se torne zero.

$L_2 = 3L_2 - 4L_1$

$3L_2 = (12, 30, 3, 147)$
$4L_2 = (12, 28, 4, 142)$

$L_2 = (0, 2, -1, 5)$

Tabela coma linha 2 atualizada:

$s$	$r$	$t$	$B$
3	7	1	35,5
0	2	-1	5
1	1	2	10,5

Agora precisamos que os dois primeiros itens da primeira linha sejam iguais a 0, preciso também que o primeiro item da ultima linha seja 0. Não posso usar uma linha que contenha um elemento nulo

$L_3 => L_1 - 3L_3$
$L_1 = (3, 7, 1, 35.5)$
$L_3 = (3, 3,6, 31.5)$

$L_3 => (0, 4, -5, 4)$

Tabela com a linha 3 atualizada:

$s$	$r$	$t$	$B$
3	7	1	35,5
0	2	-1	5
0	4	-5	4

Para que o segundo elemento da linha 3 seja 0, podemos fazer:

$L_3 => L_3 - 2L_2$

$L_3 = (0, 4, -5, 4)$
$2L_2 = (0, 4, -2, 10)$

$L_3 => L_3 - 2L_2 = (0,0,-3, -6)$

Agora com a terceira linha atualizada:

$s$	$r$	$t$	$B$
3	7	1	35,5
0	2	-1	5
0	0	-3	-6

Objetivo concluído

Ao escalona nossa matriz ampliada, temos uma matriz equivalente ao nosso sistema inicial

equação 1 = { $3s + 7r + 1t = 35,50$
equação 2 = { $4s + 10r + 1t = 49$
equação 3 = { $1s + 1s + 2t = 10,50$

Com a nossa matriz, podemos fazer um novo sistema utilizando seus itens:
equação 1 = {$3s + 7r + 1t = 35.5$
equação 2 = {$0 + 2r - 1t = 5$
equação 3 = {$0 + 0 - 3t = -6$

Agora podemos resolver a equação inicial, baseada na nossa equação equivalente, partindo da que contém menos incógnitas.

Vamos resolver a equação 3:

$-3t = -6$
$t = -6 /-3$
$t = 2$

Agora que temos o valor de $t$, podemos resolver a equação 2:
$2r - 2 = 5$ $2r = 2+5$

$2r = 7$ $r = 7/2$

$r=3,5$

Agora que temos os valores de $t$ e $r$ podemos resolver a equação 1:
$3s + 7s + 1t = 35.5$ $3s + 7(3.5) + 2 = 35.5$

$3s + 24.5 + 2 = 35.5$ $3s = 35.5 - 26.5$

$3s = 9$ $s = 9/3$

$s = 3$

Logo, nosso vetor solução é:
$X = [s, r, t]$
$X = [3, 3.5, 2]$